Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），a，b滿足|$\frac{1}{2}$a-4|+$\sqrt{^{2}-36}$=0，C在x軸負(fù)半軸上，且OC=$\frac{1}{2}$OB．
（1）求直線BC的解析式；
（2）已知AB=10，求$\frac{∠ABO}{∠CBO．}$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，故可得出A、B的坐標(biāo)，由OC=$\frac{1}{2}$OB可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可；
（2）在線段OA上截取OC=OE，根據(jù)SAS定理可得出△OCB≌△OEB，故∠OBC=∠OBE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)三角形的面積公式求出EF的長(zhǎng)，由角平分線的判定定理可知BE是∠ABO的平分線，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a，b滿足|$\frac{1}{2}$a-4|+$\sqrt{^{2}-36}$=0，
∴$\frac{1}{2}$a-4=0，b²-36=0，
解得a=8，b=6（舍去）或b=-6，
∴A（0，8），B（0，-6），
∴OA=8，OB=6．
∵OC=$\frac{1}{2}$OB，
∴B（-3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}-3k+b=0\\ b=-6\end{array}\right.$，
解得k=-2．
∴直線BC的解析式為y=-2x-6；

（2）如圖，在線段OA上截取OC=OE=3，
在△OCB與△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}OC=OE\\∠BOC=∠BOE\\ OB=OB\end{array}\right.$，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OBC=∠OBE．
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，
∵OA=8，OE=3，AB=10，
∴AE=5，
∴AE•OB=AB•EF，
∴EF$\frac{AE•OB}{AB}$=$\frac{5×6}{10}$=3，
∴EF=OE，
∴OE是∠ABO的平分線，
∴∠ABO=2∠OBE=2∠CBO，即$\frac{∠ABO}{∠CBO}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、角平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出角平分線是解答此題的關(guān)鍵．