Question

7．如圖1，已知拋物線y=ax²+c過（0，$\frac{22}{3}$），且與直線y=2x交于點(diǎn)A（3，6）．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值，如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．請(qǐng)直接寫出：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

Answer 1

分析 （1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可求得解析式；
（2）如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形△QHM與△QGN，將線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即$\frac{QM}{QN}$=tan∠AOM=2為定值．需要注意討論點(diǎn)的位置不同時(shí)，這個(gè)結(jié)論依然成立；
（3）由已知條件角的相等關(guān)系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．設(shè)OE=a，則由相似邊的比例關(guān)系可以得到m關(guān)于x的表達(dá)式=$\frac{1}{5}$a（3$\sqrt{5}$-a）=-$\frac{1}{5}$a²+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a（0＜a＜3$\sqrt{5}$），這是一個(gè)二次函數(shù)．借助此二次函數(shù)圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時(shí)，a的取值（即OE的長(zhǎng)度，或E點(diǎn)的位置）有1個(gè)或2個(gè)．這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．
另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運(yùn)用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長(zhǎng)度．如答圖2，可以通過構(gòu)造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+c過（0，$\frac{22}{3}$），且與直線y=2x交于點(diǎn)A（3，6）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{22}{3}}\\{9a+c=6}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{27}}\\{c=\frac{22}{3}}\end{array}\right.$；
拋物線的解析式為：y=-$\frac{4}{27}{x}^{2}$+$\frac{22}{3}$．
（2）$\frac{QM}{QN}$是一個(gè)定值，理由如下：
如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．
①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，
此時(shí)$\frac{QM}{QN}$=tan∠AOM=2；
②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN，
∴$\frac{QM}{QN}$=tan∠AOM=2，
當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得$\frac{QM}{QN}$=2．

（3）如答圖2，延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴$\frac{OF}{OC}$=$\frac{AO}{OR}$=$\frac{3\sqrt{5}}{3}$=$\sqrt{5}$，
∴OF=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)F（$\frac{15}{2}$，0），
設(shè)點(diǎn)B（x，$\frac{4}{27}{x}^{2}$+$\frac{22}{3}$），
過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF，
∴$\frac{BK}{FR}$=$\frac{AK}{AR}$，
即$\frac{x-3}{7.5-3}$=-$\frac{6-（-\frac{4}{27}{x}^{2}+\frac{22}{3}）}{6}$，
解得x₁=6，x₂=3（舍去），
∴點(diǎn)B（6，2），
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，
∴AB=5；
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．
設(shè)OE=a，則AE=3$\sqrt{5}$-a（0＜a＜3），
由△ABE∽△OED得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{OD}{OE}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}-a}{5}$=$\frac{m}{a}$，
∴m=$\frac{1}{5}$a（3$\sqrt{5}$-a）=-$\frac{1}{5}$a²+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a（0＜a＜3$\sqrt{5}$），
∴頂點(diǎn)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）
如答圖3，當(dāng)m=$\frac{9}{4}$時(shí)，OE=a=$\frac{3}{2}$，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；
當(dāng)0＜m＜$\frac{9}{4}$時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)a值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)．
∴當(dāng)m=$\frac{9}{4}$時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)
當(dāng)0＜m＜$\frac{9}{4}$時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題是中考?jí)狠S題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關(guān)知識(shí)，另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．解題的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，本題第（2），（3）問都涉及到了問題的轉(zhuǎn)化，要求同學(xué)們能夠?qū)⑺�求解的問題轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)問題，利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題，否則解題時(shí)將不知道從何下手而導(dǎo)致失分．