Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D為AC邊上的一點，DG∥AB，延長AB到E，使BE=GD，連接DE交BC于F．
（1）求證：GF=BF；
（2）若△ABC的邊長為a，BE的長為b，且a，b滿足（a-7）²+b²-6b+9=0，求BF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由DG∥BE得到∠GDF=∠E，則可根據(jù)“AAS”判定△FDG≌△FEB，則GF=BF；
（2）利用配方法得（a-7）²+（b-3）²=0，則根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a-7=0，b-3=0，解得a=7，b=3，即BE=3，BC=7，所以DG=BE=3，由于DG∥AB，△ABC是等邊三角形，則△CDG為等邊三角形，所以CG=DG=3，可計算出BG=BC-CG=4，然后利用GF=BF可得到BF的長．

解答：（1）證明：∵DG∥BE，
∴∠GDF=∠E，
在△FDG和△FEB中，

∠DFG=∠EFB ∠FDG=∠E GD=BE

，
∴△FDG≌△FEB（AAS），
∴GF=BF；
（2）解：∵（a-7）²+b²-6b+9=0，
∴（a-7）²+（b-3）²=0，
∴a-7=0，b-3=0，解得a=7，b=3，
∴BE=3，BC=7，
∴DG=BE=3，
∵DG∥AB，
∴△CDG為等邊三角形，
∴CG=DG=3，
∴BG=BC-CG=4，
而GF=BF，
∴BF=

1

2

BG═2．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．