Question

16．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，BD=BE，CE=CF，連接BF，CD相交于點(diǎn)P，BF，CD恰好是△ABC的角平分線．
（1）求證：PD=PF；
（2）求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABP=∠CBP，再利用“邊角邊”證明△BDP和△BEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PD=PE，同理可得PE=PF，然后等量代換即可得證；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BPD=∠BPE，同理可得∠CPE=∠CPF，從而得到∠BPC=2∠BPD，再根據(jù)平角等于180°列方程求出∠BPD=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PBC+∠PCB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABC+∠ACB，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式求解即可．

解答 （1）證明：∵BF是△ABC的平分線，
∴∠ABP=∠CBP，
在△BDP和△BEP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BDP≌△BEP（SAS），
∴PD=PE，
同理可得PE=PF，
∴PD=PF；

（2）∵△BDP≌△BEP，
∴∠BPD=∠BPE，
同理可得∠CPE=∠CPF，
∵∠BPD=∠CPF（對(duì)頂角相等），
∴∠BPD=∠BPE=∠CPE=∠CPF，
∴∠BPC=2∠BPD，
∵∠BPC+∠BPD-180°，
∴∠BPD=60°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠BPD=∠PBC+∠PCB=60°，
∵BF，CD恰好是△ABC的角平分線，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×60°=120°，
在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-120°=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，（2）要注意整體思想的利用．