Question

（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點B作經(jīng)過點C的直線CD的垂線，垂足為E（即BE⊥CD），BE交⊙O于點F，且BC平分∠ABE.

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若AB=10，CE=4，求線段EF的長.

 

Answer 1

（1）連接OC證CD⊥OC（2）EF=2

【解析】

試題分析：（1）連接OC，證CD⊥OC即可，因為BE⊥CD，所以只要證OC∥BE即可，而根據(jù)等邊對等角，以及角平分線的定義，即可證得∠OCB=∠EBC，則OC∥BE；（2）連接AC,則△ABC∽△CBE,設AC=x, ，由勾股定理可得，由圖知AC＜BC,所以，BC=,BE=8,由切割線定理可求出EF.

試題解析：（1）連接OC．∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，又∵∠EBC=∠ABC，∴∠OCB=∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）連接AC,因為AB是直徑，所以∠ACB＝90°, 又BC平分∠ABE所以△ABC∽△CBE,設AC=x, 所以，由勾股定理可得，由圖知AC＜BC,所以，BC=,BE=8,由切割線定理得：,所以，所以EF=2.

考點：1.切線的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的性質與判定；4.切割線定理．