Question

13．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，乙每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間t秒（0＜t＜2）．
①過點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時，$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$的值最小，求出這個最小值并寫出此時點(diǎn)E、P的坐標(biāo)；
②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，通過△CDE∽△CBO得到$\frac{CE}{CO}$=$\frac{ED}{OB}$，即$\frac{2-t}{2}$=$\frac{DE}{4}$，求得$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$有最小值1，即可求得結(jié)果；
②存在，求得拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2的對稱方程為x=3，設(shè)F（3，m），當(dāng)△EFP為直角三角形時，（a）當(dāng)∠EPF=90°時，（b）當(dāng)∠EFP=90°時，（c）當(dāng)∠PEF=90°時，根據(jù)勾股定理列方程即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．
（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，
∵DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴$\frac{CE}{CO}$=$\frac{ED}{OB}$，
即$\frac{2-t}{2}$=$\frac{DE}{4}$，
∴DE=4-2t，
∴$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$=$\frac{1}{2t}$+$\frac{1}{4-2t}$=$\frac{1}{-{t}^{2}+2t}$=$\frac{1}{1-（t-1）^{2}}$，
∵0＜t＜2，1-（t-1）²始終為正數(shù)，且t=1時，1-（t-1）²有最大值1，
∴t=1時，$\frac{1}{1-（t-1）^{2}}$有最小值1，
即t=1時，$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{DE}$有最小值1，此時OP=2，OE=1，
∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，
∵拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2的對稱軸方程為x=3，
設(shè)F（3，m），
∴EP²=5，PF²=（3-2）²+m²，EF²=（m-1）²+3²，
當(dāng)△EFP為直角三角形時，
（a）當(dāng)∠EPF=90°時，
EP²+PF²=EF²，
即5+1+m²=（m-1）²+3²，
解得：m=2，
（b）當(dāng)∠EFP=90°時，
EF²+FP²=PE²，
即（m-1）²+3²+（3-2）²+m²=5，
此方程無解，不合題意舍去，
∴當(dāng)∠EFP=90°時，
這種情況不存在，
（c）當(dāng)∠PEF=90°時，
EF²+PE²=PF²，
即（m-1）²+3²+5=（3-2）²+m²，
解得：m=7，
∴F（3，2），（3，7）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，求代數(shù)式的最值，勾股定理，存在性問題，在求有關(guān)存在性問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．