Question

19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D為AC中點(diǎn)，M為線段AB上一動點(diǎn)（M不與A、B重合），過點(diǎn)M作BC的平行線交BD于點(diǎn)N，以MN為對角線作正方形MPNQ，設(shè)MN的長為m．
（1）用含m的代數(shù)式表示正方形MPNQ的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q落在AC上時，求m的值；
（3）設(shè)正方形MPNQ與△ACB重疊部分的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)點(diǎn)P到BC的距離與點(diǎn)N到AC的距離相等時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半即可解決問題．
（2）如圖1中，由NH∥BC，推出$\frac{NH}{BC}$=$\frac{DH}{CD}$，得到$\frac{NH}{DH}$=$\frac{BC}{CD}$=2，即DH=$\frac{1}{2}$NH=$\frac{1}{4}$m，根據(jù)HM=AH，列出方程即可解決問題．
（3）分三種情形討論即可，①當(dāng)0＜m≤2時，S=$\frac{1}{2}$m²．②當(dāng)2＜m≤$\frac{8}{3}$時，如圖3中，重疊部分是五邊形MPEFQ，③當(dāng)$\frac{8}{3}$＜m＜4時，如圖4中，重疊部分是△MEA，分別求出面積即可．
（4）根據(jù)條件列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形MPNA是正方形，
∴S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$•MN²=$\frac{{m}^{2}}{2}$．

（2）如圖1中，

∵NH∥BC，
∴$\frac{NH}{BC}$=$\frac{DH}{CD}$，
∴$\frac{NH}{DH}$=$\frac{BC}{CD}$=2，
∴DH=$\frac{1}{2}$NH=$\frac{1}{4}$m，
∵HM=AH，
∴$\frac{1}{2}$m=2-$\frac{1}{4}$m，
∴m=$\frac{8}{3}$．
 
（3）如圖2中，

當(dāng)D與N重合時，DM=AD=2，m=2，
∴當(dāng)0＜m≤2時，S=$\frac{1}{2}$m²．
當(dāng)2＜m≤$\frac{8}{3}$時，如圖3中，重疊部分是五邊形MPEFQ，

設(shè)NH=x，則DH=$\frac{1}{2}$x．
∵HM=HA，
∴m-x=2-$\frac{1}{2}$x，
∴x=2m-4，
∴S=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$•2（2m-4）•（2m-4）=（2m-4）²，
當(dāng)$\frac{8}{3}$＜m＜4時，如圖4中，

∵NH=2m-4，
∴MH=m-（2m-4）=4-m，
∴S=$\frac{1}{2}$×2（4-m）•（4-m）=（4-m）²．
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{m}^{2}}&{（0＜m≤2）}\\{（2m-4）^{2}}&{（2＜m≤\frac{8}{3}）}\\{（4-m）^{2}}&{（\frac{8}{3}＜m＜4）}\end{array}\right.$．

（4）由題意可知：4-$\frac{1}{2}$m-（4-m）=4-2m 或4-$\frac{1}{2}$m-（4-m）=2m-4，
解得m=$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，學(xué)會畫好圖形解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考壓軸題．