Question

7．平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=12，∠ABC=60°，E為邊AD上一點，且AE=7，欲從平行四邊形ABCD上剪下等腰△AEP（要求該等腰三角形的另一頂點P在平行四邊形ABCD的一邊上），請你求出等腰△AEP的面積．

Answer 1

分析 分三種情形討論：①當(dāng)點P₁在CD邊上，EA=EP₁時，②當(dāng)點P₁在BC邊上，③當(dāng)點P₃在AB邊上分別求解即可．

解答 解：如圖，①當(dāng)點P₁在CD邊上，EA=EP₁時，作P₁H⊥AD，EF⊥CD垂足分別為H、F，
在RT△DEF中，∵∠EFD=90°，∠D=60°DE=5，
∴DF=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{5}{2}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵AE=EP₁=7，
在RT△EFP₁中，P₁F=$\sqrt{E{{P}_{1}}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{11}{2}$，
∴DP₁=DF+P₁F=8，
∵$\frac{1}{2}$•DE•P₁H=$\frac{1}{2}$•DP₁•EF，
∴P₁H=4$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△AE{P}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•AE•P₁H=14$\sqrt{3}$．
②當(dāng)點P₂在BC邊上，P₂A=P₂E時，作P₂M⊥AD垂足為M，${S}_{△{P}_{2}AE}$=$\frac{1}{2}$•AE•P₂M=$\frac{1}{2}$×7×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{35\sqrt{3}}{2}$，
③當(dāng)點P₃在AB邊上，AE=AP₃時，作EN⊥BA于N.${S}_{△AE{P}_{3}}$=$\frac{1}{2}$AP₃•EN=$\frac{1}{2}$×7×7×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{49\sqrt{3}}{4}$，
綜上所述當(dāng)△PAE是等腰三角形時面積為14$\sqrt{3}$或$\frac{35\sqrt{3}}{2}$或$\frac{49\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的方法，不能漏解，所以中考�？碱}型．