Question

1．如圖點M是邊長為4的正方形AD邊的中點，動點P自A點起，由A→B→C→D勻速運動，直線MP掃過正方形所形成的面積為y，點P運動的路程為x，請解答下列問題：
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）當以P、M、B為頂點的三角形是等腰三角形時，直線MP已掃過正方形所形成的面積是多少？

Answer 1

分析 （2）①當0≤x≤4時，AP=x，直線MP掃過正方形所形成的圖形為Rt△MAP，其面積為：y₁=$\frac{1}{2}$AM•AP=$\frac{1}{2}$×2×x=x；②當4＜x≤8時，BP=x-4，直線MP掃過正方形所形成的圖形為梯形MABP，其面積為：y₂=$\frac{1}{2}$（AM+PB）•AB=$\frac{1}{2}$[2+（x-4）]×4=2x-4；③當8＜x≤12時，DP=12-x．直線MP掃過正方形所形成的圖形為五邊形MABCP，其面積為：y₃=S_{正方形ABCD}-S_Rt△MPD=x+4；
（2）①當點P在AB上，PB=PM時，列方程求得x=$\frac{3}{2}$，得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}•AP•AM$=$\frac{1}{2}$×$2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，②點P在BC上，BM=PM時，由M是AD的中點，得到P與C重合，求得x=8，于是得到y(tǒng)=4×4-$\frac{1}{2}×2×4$=12，③當點P在CD上，BM=BP時，列方程求得x=10，x=6＜8（舍去），于是得到y(tǒng)=16-$\frac{1}{2}×2×2$=14；④當點P在CD上，PM=BP時，列方程求得x=8.5，于是得到y(tǒng)=16-$\frac{1}{2}×2×3.5$=12.5．

解答 解：（1）①當0≤x≤4時，點P由A→B在AB線段上運動，AP=x，
直線MP掃過正方形所形成的圖形為Rt△MAP，
其面積為：y₁=$\frac{1}{2}$AM•AP=$\frac{1}{2}$×2×x=x；
②當4＜x≤8時，點P由B→C在BC線段上運動，BP=x-4，直線MP掃過正方形所形成的圖形為梯形MABP，
其面積為：y₂=$\frac{1}{2}$（AM+BP）•AB=$\frac{1}{2}$[2+（x-4）]×4=2x-4；
③當8＜x≤12時，點P由C→D在CD線段上運動，DP=12-x．直線MP掃過正方形所形成的圖形為五邊形MABCP，
其面積為：y₃=S_{正方形ABCD}-S_Rt△MPD=4²-$\frac{1}{2}$MD•DP=16-$\frac{1}{2}$×2×（12-x）=x+4；

（2）①當點P在AB上，PB=PM時，
∵PB=4-x，PM=$\sqrt{{2}^{2}+{x}^{2}}$，
∴4-x=$\sqrt{{2}^{2}+{x}^{2}}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}•AP•AM$=$\frac{1}{2}$×$2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
②點P在BC上，BM=PM時，
∵M是AD的中點，
∴P與C重合，
∴x=8，y=4×4-$\frac{1}{2}×2×4$=12，
③當點P在CD上，BM=BP時，
∵BM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BP=$\sqrt{{4}^{2}+（x-8）^{2}}$，
即：2$\sqrt{5}$=$\sqrt{{4}^{2}+（x-8）^{2}}$，解得：x=10，x=6＜8（舍去），
∴y=16-$\frac{1}{2}×2×2$=14；
④當點P在CD上，PM=BP時，
∵PM=$\sqrt{{2}^{2}+（12-x）^{2}}$，PB=$\sqrt{{4}^{2}+（x-8）^{2}}$，
解得：x=8.5，
∴y=16-$\frac{1}{2}×2×3.5$=12.5．

點評 此題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，是一道綜合性很強的題．