Question

15．作圖與證明：
如圖，已知⊙O和⊙O上的一點A，請完成下列任務(wù)：
（1）作⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；
（2）連接BF，CE，判斷四邊形BCEF的形狀并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由正六邊形ABCDEF的中心角為60°，可得△OAB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的邊長等于半徑，則可畫出⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；
（2）首先連接OE，由六邊形ABCDEF是正六邊形，易得EF=BC，$\widehat{BF}$=$\widehat{CE}$，則可得BF=CE，證得四邊形BCEF是平行四邊形，然后由∠EDC=∠DEF=120°，∠DEC=30°，求得∠CEF=90°，則可證得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，首先作直徑AD，然后分別以A，D為圓心，OA長為半徑畫弧，分別交⊙O于點B，F(xiàn)，C，E，連接AB，BC，CD，DE，EF，AF，
則正六邊形ABCDEF即為⊙O所求；

（2）四邊形BCEF是矩形．
理由：如圖2，連接OE，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AB=AF=DE=DC，F(xiàn)E=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{DC}$，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CE}$，
∴BF=CE，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∵∠EOD=$\frac{360°}{6}$=60°，OE=OD，
∴△EOD是等邊三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEF=∠DEF-∠CED=90°，
∴四邊形BCEF是矩形．

點評 此題考查了正多邊形與圓的知識以及平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的判定等知識．注意根據(jù)正六邊形的性質(zhì)作圖是關(guān)鍵．