Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點A（2，-3），與x軸交于點B，且與直線$y=3x-\frac{8}{3}$平行．
（1）求：直線l的函數(shù)解析式及點B的坐標；
（2）直線l上有一點M（a，-6），過點M作x軸的垂線，交直線y=3x-$\frac{8}{3}$于點N，求線段MN的長；
（3）在直線MN上是否存在點P，使△ABP為等腰三角形？若存在，直接寫出所有可能的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行直線的解析式的k值相等設出直線l的解析式，然后把A點坐標代入求解即可，再令y=0求解即可得到點B的坐標；
（2）把點M的坐標代入直線l求出a的值，再求出點N的坐標，然后求解即可；
（3）設點P的坐標為（1，y），先利用勾股定理列式求出AB，再分①A是頂角頂點坐標時，利用勾股定理列出方程，然后求解即可；②B是頂角頂點坐標時，利用勾股定理列方程求解即可；③AB是底邊時，根據(jù)PA=PB利用勾股定理列出方程，然后求解即可．

解答 解：（1）∵直線l與直線y=3x-$\frac{8}{3}$平行，
∴設直線l的解析式為y=3x+b，
∵直線l經(jīng)過點A（2，-3），
∴2×3+b=-3，
解得b=-9，
所以，直線l的解析式為y=3x-9，
令y=0，則3x-9=0，
解得x=3，
所以，點B（3，0）；

（2）∵點M（a，-6）是直線l上一點，
∴3a-9=-6，
解得a=1，
∴點M（1，-6），
當x=1時，y=3x-$\frac{8}{3}$=3×1-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴MN=$\frac{1}{3}$-（-6）=6$\frac{1}{3}$；

（3）∵點P在直線MN上，
∴設點P的坐標為（1，y），
∵A（2，-3），B（3，0），
∴AB=$\sqrt{（2-3）^{2}+（-3-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
①A是頂角頂點坐標時，∵AP=AB，
∴$\sqrt{（1-2）^{2}+（y+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得y₁=0，y₂=-6（舍去），
∴點P（1，0）；
②B是頂角頂點坐標時，∵BP=AB，
∴$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-y）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得y=±$\sqrt{6}$，
∴點P的坐標為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）；
③AB是底邊時，∵PA=PB，
∴$\sqrt{（1-2）^{2}+（y+3）^{2}}$=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-y）^{2}}$，
解得y=-1，
所以，點P的坐標為（1，-1）；
綜上所述，直線MN上存在點P（1，0）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，-1）使△ABP為等腰三角形．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了兩直線平行的問題，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，難點在于分情況討論并利用勾股定理列出方程．