Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，利用三角函數(shù)知識(shí)證明：
（1）AC²=AD•AB；
（2）BC²=BD•AB；
（3）CD²=AD•BD；
（4）若AC=6，AD=3，利用（1）、（2）、（3）的結(jié)論求AB、BC、CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）先由同角的余角相等可得∠ACD=∠B=90°-∠BCD，則sin∠ACD=sin∠B，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出

AD

AC

=

AC

AB

，由比例的基本性質(zhì)即可證明AC²=AD•AB；
（2）先由同角的余角相等可得∠BCD=∠A=90°-∠ACD，則sin∠BCD=sin∠A，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出

BD

BC

=

BC

AB

，由比例的基本性質(zhì)即可證明BC²=BD•AB；
（3）先根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tan∠A=

CD

AD

=

BC

AC

，tan∠B=

CD

BD

=

AC

BC

，再將兩式相乘得到

CD

AD

•

CD

BD

=

BC

AC

•

AC

BC

=1，即可證明CD²=AD•BD；
（4）先由（1）的結(jié)論可得AB=

AC2

AD

=

62

3

12，于是BD=AB-AD=9，再根據(jù)（2）的結(jié)論得到BC²=BD•AB=9×12=108，那么BC=6

3

；然后根據(jù)（3）的結(jié)論得出CD²=AD•BD=3×9=27，于是CD=3

3

．

解答：（1）證明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD=∠B=90°-∠BCD，
∴sin∠ACD=sin∠B，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=AD•AB；

（2）證明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A=90°-∠ACD，
∴sin∠BCD=sin∠A，
∴

BD

BC

=

BC

AB

，
∴BC²=BD•AB；

（3）證明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，
∴tan∠A=

CD

AD

=

BC

AC

，tan∠B=

CD

BD

=

AC

BC

，
∴

CD

AD

•

CD

BD

=

BC

AC

•

AC

BC

=1，
∴CD²=AD•BD；

（4）解：∵AC=6，AD=3，
∴AB=

AC2

AD

=

62

3

12；
∵BD=AB-AD=12-3=9，
∴BC²=BD•AB=9×12=108，
∴BC=6

3

；
∵CD²=AD•BD=3×9=27，
∴CD=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，余角的性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．