Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，K點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），在拋物線y=x²-2x-3中，D是頂點(diǎn)，是否存在點(diǎn)L，使△AKL和△LCD面積相等？若有，求出點(diǎn)L坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：KA和DC的延長(zhǎng)線相交于P，作PE⊥y軸于E，交拋物線于L和L′，作DH⊥y軸于H，先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），易得△OKA為等腰直角三角形，則∠AKO=45°，利用配方得y=x²-2x-3=（x-1）²-4，得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），則DH=1，CH=1，所以△CDH為等腰直角三角形，得到∠HCD=45°，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠PCO=45°，于是可判斷△PKC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PE平分∠KPC，KE=CE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得點(diǎn)L（或L′）到AK和CD的距離相等，所以△AKL和△LCD面積相等；然后確定直線PE為y=-1，再求直線y=-1與拋物線y=x²-2x-3的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：存在．
KA和DC的延長(zhǎng)線相交于P，作PE⊥y軸于E，交拋物線于L和L′，作DH⊥y軸于H，如圖，
把y=0代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∵K（0，1），
∴△OKA為等腰直角三角形，
∴∠AKO=45°，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
而C（0，-3），
∴DH=1，CH=1，
∴△CDH為等腰直角三角形，
∴∠HCD=45°，
∴∠PCO=45°，
∴△PKC為等腰直角三角形，
∴PE平分∠KPC，KE=CE，
∴點(diǎn)L（或L′）到AK和CD的距離相等，
∵KC=4，
∴直線PE為y=-1，
把y=-1代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-1，解得x₁=1-

3

，x₂=1+

3

，
∴點(diǎn)L坐標(biāo)為（1-

3

，-1）和（1+

3

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，對(duì)稱即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．