Question

把拋物線y=-

1

3

x²向左平移3個單位，再向上平移4個單位，得到一條新拋物線．
（1）求所得的新拋物線的解析式；
（2）求新拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標；
（3）對于新拋物線，x取何值時，y隨x的增大而增大？x取何值時，y隨x的增大而減小？
（4）對于新拋物線，x取何值時，y有最大值（或最小值），并求出最大（最�。┲担�

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律即可得出平移后拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點式：y=a（x-h）²+k，當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下，頂點坐標為（h，k），對稱軸為x=h，由此求解即可；
（3）由函數(shù)圖象的開口方向及對稱軸方程，利用二次函數(shù)的增減性即可求解；
（4）由于a＜0，拋物線開口向下，可知新拋物線在頂點處有最大值，由此求解即可．

解答：解：（1）把拋物線y=-

1

3

x²向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得的新拋物線的解析式為y=-

1

3

（x+3）²+4；

（2）∵y=-

1

3

（x+3）²+4，a=-

1

3

＜0，
∴拋物線開口向下，對稱軸為x=-3，頂點坐標為（-3，4）；

（3）∵拋物線y=-

1

3

（x+3）²+4的開口向下，對稱軸為x=-3，
∴當x＜-3時，y隨x的增大而增大，當x＞-3時，y隨x的增大而減�。�

（4）∵y=-

1

3

（x+3）²+4，a=-

1

3

＜0，
∴當x=-3時，y有最大值4．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最低點．
②當a＜0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最高點．
同時考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．