Question

如圖，已知l₁⊥l₂，⊙O與l₁，l₂都相切，⊙O的半徑為1cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l₁，l₂重合，AB=2

3

cm，AD=2cm，若⊙O與矩形ABCD沿l₁同時(shí)向右移動(dòng)，⊙O的移動(dòng)速度為2cm/s，矩形ABCD的移動(dòng)速度為3cm/s，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）

（1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為

 

°；
（2）如圖②，兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后，⊙O到達(dá)⊙O₁的位置，矩形ABCD到達(dá)A₁B₁C₁D₁的位置，此時(shí)點(diǎn)O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上，求圓心O移動(dòng)的距離（即OO₁的長(zhǎng)）；
（3）在移動(dòng)過程中，圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm），當(dāng)d＜1時(shí)，求t的取值范圍（解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出，∠C₁A₁D₁=60°，再利用A₁E=AA₁-OO₁-1=t-1，求出t的值，進(jìn)而得出OO₁=2t得出答案即可；
（3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t₁，②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t₂，分別求出即可．

解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，⊙O與l₁，l₂都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=2

3

cm，AD=2cm，
∴CD=2

3

cm，
∴tan∠DAC=

DC

AD

=

3

，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度數(shù)為：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案為：105；

（2）如圖位置二，當(dāng)O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上時(shí)，設(shè)⊙O₁與l₁的切點(diǎn)為E，
連接O₁E，可得O₁E=1，O₁E⊥l₁，
在Rt△A₁D₁C₁中，∵A₁D₁=2

3

cm，C₁D₁=2cm，
∴tan∠C₁A₁D₁=

3

，∴∠C₁A₁D₁=60°，
在Rt△A₁O₁E中，∠O₁A₁E=∠C₁A₁D₁=60°，
∴A₁E=

1

tan60°

=

3

3

，
∵A₁E=AA₁-OO₁-1=t-1，
∴t-1=

3

3

，
∴t=

3

3

+1，
∴OO₁=2t=

2 3

3

+2；

（3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t₁，
如圖，此時(shí)⊙O移動(dòng)到⊙O₂的位置，矩形ABCD移動(dòng)到A₂B₂C₂D₂的位置，
設(shè)⊙O₂與直線l₁，A₂C₂分別相切于點(diǎn)F，G，連接O₂F，O₂G，O₂A₂，
∴O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，
由（2）得，∠C₂A₂D₂=60°，
∴∠GA₂F=120°，
∴∠O₂A₂F=60°，
在Rt△A₂O₂F中，O₂F=1，∴A₂F=

3

3

，
∵OO₂=2t₁，AF=AA₂+A₂F=t₁+

3

3

，
∴2t₁+

3

3

-t₁=1，
∴t₁=1-

3

3

，
②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時(shí)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t₂，
記第一次相切時(shí)為位置一，點(diǎn)O₁，A₁，C₁共線時(shí)位置二，第二次相切時(shí)為位置三，
由題意知，從位置一到位置二所用時(shí)間與位置二到位置三所用時(shí)間相等，
∴

3

3

+1-（1-

3

3

）=t₂-（

3

3

+1），
解得：t₂=

3

+1，
綜上所述，當(dāng)d＜1時(shí)，t的取值范圍是：1-

3

3

＜t＜

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、銳角三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，其中利用一條線段的兩種表示方法建立關(guān)于t的方程是解決第（2）小題與第（3）小題的關(guān)鍵．