Question

10．如圖，正方形ABCD和CEFG公共頂點C，點F在CD上，連接DE，連接BG并延長交CD于M，交DE于點H，求證：EM⊥DG，且F為△DHG的內(nèi)心．

Answer 1

分析 解：連結(jié)DG，延長EM交DG于N，如圖，由正方形的性質(zhì)得EF=FG=GC=CE，∠ECF=∠GCF=45°，先證明△DEC≌△DGC得到DE=DG，∠EDC=∠GDC，再證明△CGD≌△CGB得到∠CBG=∠CDG，則根據(jù)三角形內(nèi)角和可證明∠DHM=∠BCG=90°，接著證明△DEM≌△DGM得到∠DEM=∠DGM，于是根據(jù)等角的余角相等得到∠MNG=∠MHE=90°，所以EM⊥DG；然后證明△DEF≌△DGF得到∠DEF=∠DGF，由于∠HEF=∠FGH，則∠DGF=∠FGH，最后根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可判斷F為△DHG的內(nèi)心．

解答 解：連結(jié)DG，延長EM交DG于N，如圖，
∵四邊形FGCE為正方形，
∴EF=FG=GC=CE，∠ECF=∠GCF=45°，
在△DEC和△DGC中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DC}\\{∠DCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△DGC，
∴DE=DG，∠EDC=∠GDC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°-∠DCG=45°，
在△CGD和△CGB中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{∠DCG=∠BCG}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△CGB，
∴∠CBG=∠CDG，
∴∠EDC=∠CBG，
∵∠DMH=∠CMB，
∴∠DHM=∠BCG=90°，
在△DEM和△DGM中
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{∠EDM=∠GDM}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DGM，
∴∠DEM=∠DGM，
而∠EMH=∠GMN，
∴∠MNG=∠MHE=90°，
∴EM⊥DG；
在△DEF和△DGF中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DF}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DGF，
∴∠DEF=∠DGF，
∵∠GHE=∠GFE=90°，
∴∠HEF=∠FGH，
∴∠DGF=∠FGH，
而∠HDM=∠GDM，
∴F為△DHG的內(nèi)心．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運用全等三角形的知識解決線段和角度相等的問題．