Question

3．如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)交OP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，且CP=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若⊙O的半徑為3，OP=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到3²+x²=（x+1）²，然后解方程即可．

解答 （1）證明：連接OB，如圖，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：設(shè)BC=x，則PC=x，
在Rt△OBC中，OB=3，OC=CP+OP=x+1，
∵OB²+BC²=OC²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
即BC的長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的判定定理以及勾股定理，正確應(yīng)用勾股定理求出BC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．