Question

18．如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF=BE，CE=CF．求證：
（1）△CFD≌△CEB；
（2）∠CFE=60°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出CD=CB，又DF=BE，CF=CE，根據(jù)SSS即可證明△CFD≌△CEB；
（2）根據(jù)全等三角形、菱形的性質(zhì)得出∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠CBE，由平角的定義求出∠ABD=∠CBD=∠CBE=60°，再證明∠FCE=60°，那么由CF=CE，
得出△CFE是等邊三角形，于是∠CFE=60°．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB．
在△CFD和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{CF=CE}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△CEB（SSS）；

（2）解：∵△CFD≌△CEB，
∴∠CDB=∠CBE，∠DCF=∠BCE．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠CBD=∠ABD．
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠CBD=∠CBE=60°．
∴∠DCB=60°．
∵∠FCE=60°，
∵CF=CE，
∴∠CFE=∠CEF=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．也考查了全等三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)．