Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（3，2），B（0，1）和點C（-1，-

2

3

）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若拋物線的頂點為P，點A關(guān)于對稱軸的對稱點為M，過M的直線交拋物線于另一點N（N在對稱軸右邊），交對稱軸于F，若S_△PFN=4S_△PFM，求點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點G，使△BMA與△MBG相似？若存在，求點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可得拋物線的對稱軸，根據(jù)A關(guān)于對稱軸的對稱，可得M點的坐標，根據(jù)S_△PFN=4S_△PFM，等底，可得NH的長度，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線MN的解析式，根據(jù)直線的交點，可得答案；
（3）分類討論：當△AMB∽△MBG時，當△BMA∽△MBG時，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等，可得BG的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答：解：（1）由題得c=1，
∵拋物線過點A（3，2）和點C(-1，-

2

3

)
∴

9a+3b+1=2 a-b+1=- 2 3

∴

a=- 1 3 b= 4 3

∴y=-

1

3

x2+

4

3

x+1

（2）∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+1=-

1

3

(x-2)2+

7

3

∴P(2，

7

3

)∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∵A與M關(guān)于對稱軸對稱
∴M（1，2），ME=1
過點N作NH⊥PF于點H
∵S_△PFN=4S_△PFM
∴ME=

1

4

NH
∴NH=4
∴N（6，-3）．
可求直線MN：y=-x+3
∴F（2，1）

（3）∵B（0，1），M（1，2），延長AM交y軸于點D，則D（0，2），
∴∠DBM=∠DMB=45°，BM=

BD2+DM2

=

12+12

=

2

∴∠AMB=135°，
∵△BMA與△MBG相似
∴點B與點M對應(yīng)，點G只能在點B下方．
設(shè)G（0，y）
①當△AMB∽△MBG時，
∴

AM

MB

=

MB

BG

2

2

=

2

BG

∴BG=1
∴G（0，0）
②當△BMA∽△MBG時，
∴

BM

MB

=

MA

BG

2

2

=

2

BG

∴BG=2
∴G（0，-1）
綜上所述，滿足要求的點G的坐標為（0，0）或（0，-1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，（1）待定系數(shù)法是求二次函數(shù)解析式的關(guān)鍵；（2）等底面積的關(guān)系，得出高的關(guān)系，先求出點N的坐標，再求出直線MN，最后求出兩直線的交點；（3）分類討論，對應(yīng)邊的比相等是解題關(guān)鍵．