Question

如圖，直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C、D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F．
（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長(zhǎng)；
（2）求證：PE=PF．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OD，格局PD垂直平分OA，且圓半徑為8，求出OA與OB的長(zhǎng)，BD與BC的長(zhǎng)，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，即可確定出CD的長(zhǎng)；
（2）由PE為圓的切線，得到∠PEO為直角，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，根據(jù)OE=OA，得到一對(duì)角相等，等量代換得到∠PEF=∠PFE，利用等角對(duì)等角即可得證．

解答：（1）解：連接OD，
∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，
∴OB=OA=4，BC=BD=

1

2

CD，
∴在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：BD=

OD2-OB2

=4

3

，
∴CD=2BD=8

3

；
（2）證明：∵PE是⊙O的切線，
∴∠PEO=90°，
∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，
∵OE=OA，
∴∠A=∠AEO，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．