Question

19．如圖，已知點O（0，0），A（-5，0），B（2，1），拋物線l：y=-（x-h）²+1（h為常數(shù)）與y軸的交點為C．
（1）l經(jīng)過點B，求它的解析式，并寫出此時l的對稱軸及頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點C的縱坐標(biāo)為y_c，求y_c的最大值，此時l上有兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比較y₁與y₂的大小；
（3）當(dāng)線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值．

Answer 1

分析 （1）把點B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于h的方程，借助于方程可以求得h的值；利用拋物線函數(shù)解析式得到該圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)；
（2）把點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到：y_C=-h²+1，則由二次函數(shù)的最值的求法易得y_c的最大值，并可以求得此時拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的增減性來求y₁與y₂的大��；
（3）根據(jù)已知條件“O（0，0），A（-5，0），線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4”可以推知把線段OA被l只分為兩部分的點的坐標(biāo)分別是（-1，0），（-4，0）．由二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可以求得h的值．

解答 解：（1）把點B的坐標(biāo)B（2，1）代入y=-（x-h）²+1，得
1=-（2-h）²+1．
解得h=2．
則該函數(shù)解析式為y=-（x-2）²+1（或y=-x²+4x-3）．
故拋物線l的對稱軸為x=2，頂點坐標(biāo)是（2，1）；

（2）點C的橫坐標(biāo)為0，則y_C=-h²+1．
當(dāng)h=0時，y_C=有最大值1，
此時，拋物線l為：y=-x²+1，對稱軸為y軸，開口方向向下，
所以，當(dāng)x≥0時，y隨x的增大而減小，
所以，x₁＞x₂≥0，y₁＜y₂；

（3）∵線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4，且O（0，0），A（-5，0），
∴把線段OA被l只分為兩部分的點的坐標(biāo)分別是（-1，0），（-4，0）．
把x=-1，y=0代入y=-（x-h）²+1，得
0=-（-1-h）²+1，
解得h₁=0，h₂=-2．
但是當(dāng)h=-2時，線段OA被拋物線l分為三部分，不合題意，舍去．
同樣，把x=-4，y=0代入y=-（x-h）²+1，得
h=-5或h=-3（舍去）．
綜上所述，h的值是0或-5．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．該題涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)最值的求法以及點的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識點，綜合性比較強，難度較大．解答（3）題時，注意對h的值根據(jù)實際意義進行取舍．