Question

如圖，一張正方形紙板的邊長(zhǎng)為10cm，將它割去一個(gè)正方形，留下四個(gè)全等的直角三角形（圖中陰影部分）．設(shè)AE=BF=CG=DH=x（cm），陰影部分的面積為y（cm²）
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，陰影部分的面積達(dá)到最大，最大值為多少？
（3）當(dāng)留下的四個(gè)直角三角形恰好能拼成一個(gè)正方形時(shí)（無縫無重疊），求此時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何圖形問題

分析：（1）利用直角三角形面積公式求出即可；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)式形式，得出x的值即可；
（3）利用正方形的性質(zhì)得出兩直角邊的比，進(jìn)而求出陰影部分面積．

解答：解：（1）設(shè)AE=BF=CG=DH=x（cm），
陰影部分的面積為：y=4×

1

2

x（10-x）=-2x²+20x，（0＜x＜10）；

（2）∵y=-2x²+20x=-2（x²-10x）=-2（x-5）²+50，
∴當(dāng)x=5時(shí)，陰影部分的面積達(dá)到最大，最大值為50；

（3）當(dāng)四個(gè)直角三角形剛好拼接成正方形時(shí)，
即兩直角邊的比為：1：2，
故x=2（10-x），
解得：x=

10

3

，
陰影部分的面積是：y=-2x²+20x=-2×（

10

3

）²+20×

10

3

=

400

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用正方形性質(zhì)得出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．