Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=6，∠ACB的平分線CO交AB于點(diǎn)O，以O(shè)B為半徑作⊙O．
（1）請判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OD=OB，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，證△AOD∽△ACB，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）AC=⊙O相切，
理由如下：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，
∵∠ABC=90°，
∴OB⊥CB，
又∵OC平分∠ACB，
∴OD=OB，
∴AC與⊙O相切；

（2）∵在Rt△ABC中，AC=10，BC=6，
∴AB=

AC2-BC2

=8，
∵OD⊥AC，
∴∠ODA=∠B=90°
又∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴

OD

CB

=

AO

AC

，
設(shè)⊙O的半徑為x，
∴

x

6

=

8-x

10

，
解得：x=3，
即⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和勾股定理，也考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，還考查了角平分線性質(zhì)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．