Question

7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB=5，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，且OC=5，拋物線y=a（x-2）²+k經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)P為拋物線上位于直線BC下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，若直線PQ與直線BC之間的距離為d（d≠0），求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接PA交BC于點(diǎn)E，當(dāng)t為何值時(shí)，使AE=2PE？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出B，C點(diǎn)坐標(biāo)，直接代入解析式求出即可；
（2）作PN⊥y軸，延長(zhǎng)BC交PN于點(diǎn)M，作BR⊥PQ，利用拋物線y=x²-4x-5，得出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，求出MP的長(zhǎng)，在RT△BRQ中∠RBQ=45°，即可得出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）由BQ=-t²+5t，AB=6，結(jié)合平行線分線段成比例列出式子求解即可得出t的值．

解答 解：（1）∵OB=5，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，且OC=5，
∴B（5，0），C（0，-5）代入拋物線解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=0}\\{-5=4a+k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-9}\end{array}\right.$
∴拋物線y=（x-2）²-9=x²-4x-5；

（2）如圖1，作PN⊥y軸，延長(zhǎng)BC交PN于點(diǎn)M，作BR⊥PQ，

∵拋物線y=x²-4x-5，
∴B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=45°，
∴∠MCN=45°，
∴CN=MN，
∵P（t，t²-4t-5），
∴MN=CN=-（t²-4t-5）-5=-t²+4t，
∴MP=MN+NP=-t²+4t+t=-t²+5t
∵四邊形MPQB是平行四邊形，
∴BQ=-t²+5t，
∵在RT△BRQ中∠RBQ=45°，
∴d=（-t²+4t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+2$\sqrt{2}$t．（0＜t＜5）

（3）如圖2，連接AP交BC于點(diǎn)E，

由（2）可知BQ=-t²+5t，
∵AB=6，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AB}{BQ}$，
∵AE=2PE，
∴2=$\frac{6}{-{t}^{2}+5t}$，
解得：t₁=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．