Question

5．如圖，△ABC中，AB=10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，點D為邊AC上一點，點E為CA延長線上一點，且$\frac{AD}{AE}$=$\frac{1}{2}$，以DB、DE為邊作?BDEF，則當(dāng)對角線DF的長取得最小值時，BD的長為8．

Answer 1

分析 先確定出FD最短時，DF⊥BF，再由FB∥ED，得到比例式$\frac{AD}{FB}=\frac{OA}{OB}$，而$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，求出OB=3OA，再根據(jù)三角函數(shù)求出OA，OB，F(xiàn)D，最后用勾股定理計算即可．

解答 解：∵AB=10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴點B是定點，
∵點D，F(xiàn)分別是FB∥ED上兩點，
當(dāng)DF去最小值時，DF⊥BF，
∵以DB、DE為邊作?BDEF，
∴ED∥FB，DE=BF，
∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{BF}$$\frac{1}{3}$，
∵ED∥FB，
∴$\frac{AD}{FB}=\frac{OA}{OB}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OB=3OA，
∵DE∥FB，F(xiàn)B⊥FD，
∴∠ADO=90°
設(shè)AD=x，則FB=3x，
在Rt△ADO中，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠BAC=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{x}{OA}$，
∴OA=$\frac{5x}{4}$，∵$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴OB=3OA=$\frac{15x}{4}$，
∵AB=10，
∴AB=OA+OB=$\frac{5x}{4}$+$\frac{15x}{4}$=10，
∵x=2，
∴FB=3x=6，
∵sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，OA=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{3}{5}$，
∴OD=$\frac{3}{5}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴OF=3OD=$\frac{9}{2}$，
∴DF=OD+OF=6，
在Rt△BFD中，DF=6，AB=10，
∴BD=8．
故答案為8．

點評 此題是平行四邊形的性質(zhì)，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是確定出DF最小時滿足的條件，也是解本題的難點．