Question

2．在直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，在y軸上取一點(diǎn)C，如果使B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 如圖，首先求出OA、OB、AB的長(zhǎng)度；運(yùn)用角平分線的性質(zhì)求出OC的長(zhǎng)度，即可解決問題．

解答 解：過(guò)C作CD⊥AB于D，如圖1，

對(duì)于直線y=-$\frac{3}{4}$x+3，
當(dāng)x=0，得y=3；
當(dāng)y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐標(biāo)平面沿直線AC折疊，使點(diǎn)B剛好落在x軸上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，則BC=3-n，
∴DA=OA=4，
∴DB=5-4=1，
在Rt△BCD中，DC²+BD²=BC²，
∴n²+1²=（3-n）²，解得n=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{3}$）；
當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D落在x軸的正半軸時(shí)，此時(shí)AD=AB=5，
由對(duì)稱性可得BC=DC，
則OD=AD+OA=5+4=9，
設(shè)OC=m，則DC=BC=OB+OC=3+m，
在RT△COD中，有OD²+OC²=DC²，
即有9²+m²=（3+m）²，
解得：m=12，
此時(shí)C的坐標(biāo)為（0，-12）
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的方法：分別令x=0或y=0，求對(duì)應(yīng)的y或x的值；也考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理．