Question

3．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，p），?ABCD 的頂點(diǎn)C、D分別在y軸的負(fù)半軸、x軸的正半軸上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、D．
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）若點(diǎn)E在對(duì)稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上，且∠DCE＞∠BDA，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m的取值范圍為1≤m＜$\frac{9}{4}$，m＞6．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)B坐標(biāo)，直線AB解析式，根據(jù)CD∥AB，得到CD的解析式為y=x+m，推出OD=OC，再根據(jù)AB=CD=3$\sqrt{2}$，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
（2）首先證明四邊形ABCD是矩形，分兩種情形討論①當(dāng)點(diǎn)E在直線CD下方時(shí)，∠ECD=∠ADB，推出EC⊥AC，求出直線EC的解析式，拋物線的解析式，解方程組即可解決問(wèn)題．②當(dāng)點(diǎn)E在直線CD上方時(shí)，∠E′CD=∠ADB，推出CE′⊥BD，求出直線CE′的解析式即可利用方程組解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖，設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，p），
∴k=-10．p=2，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（-5，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{-5k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+7，
∴AB∥CD，
∴直線CD的解析式為y=x+m，
則OD=OM=-m，
∵AB=CD=3$\sqrt{2}$，
∴OD=OC=3，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（3，0），
故答案為（3，0）．

（2）∵A（-2，5），C（0，-3），B（-5，2），D（3，0），
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴AC=BD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)K，
∴KC=KD，
∴∠KDC=∠KCD，
當(dāng)點(diǎn)E在直線CD下方時(shí)，∠ECD=∠ADB，
∵∠ADB+∠KDC=90°，
∴∠ECD+∠KCD=90°，
∴EC⊥AC，
∵直線AC的解析式為y=-4x-3，
∴直線CE的解析式為y=$\frac{1}{4}$x-3，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{4a-2b+c=5}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=-\frac{39}{16}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（$\frac{9}{4}$，-$\frac{39}{16}$）．
當(dāng)點(diǎn)E在直線CD上方時(shí)，∠E′CD=∠ADB，
∵∠ADB+∠BDC=90°，
∴∠E′CD+∠BDC=90°，
∴CE′⊥BD，
∵直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
∴直線CE′的解析式為y=4x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=21}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E′坐標(biāo)為（6，21），
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上，且∠DCE＞∠BDA，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m的取值范圍為1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．
故答案為1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，兩條直線互相垂直等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用方程組確定兩個(gè)好像圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．