Question

16．如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線BP從BA所在位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．
（1）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點(diǎn)D在射線BP上．若∠CDP=120°，則∠ACD=∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是BD=CD+AD；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點(diǎn)D在射線BP上，若∠CDP=90°，請(qǐng)證明：$BD-CD=\sqrt{2}AD$．
（3）如圖4，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，點(diǎn)D是射線BP上一點(diǎn)（點(diǎn)P不在線段BD上），
①當(dāng)0°＜α＜30°，且∠CDP=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系（不必證明）；
②當(dāng)30°＜α＜180°，且∠CDP=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)兩三角形中若兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等得：∠ACD=∠ABD；
②作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)全等三角形：△ABE≌△ACD，得AD=AE，再證明△ADE是等邊三角形，則AD=DE，相加后得結(jié)論；
（2）同理作輔助線，證明全等，再證明△ADE是等腰直角三角形，得DE=$\sqrt{2}$AD，代入DE=BD-BE中得結(jié)論；
（3）①如圖4，BD-CD=$\sqrt{3}$AD，在BD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，證明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根據(jù)特殊三角函數(shù)求得DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，代入BD-BE=DE中得出結(jié)論；
②如圖5，BD+CD=$\sqrt{3}$AD，延長(zhǎng)DB到E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，證明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根據(jù)特殊三角函數(shù)求得DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，代入BD+BE=DE中得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖2，①∵∠CDP=120°，
∴∠BDC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠DOC=∠AOB，
∴∠ACD=∠ABD，
②BD=CD+AD，
在BD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接AE，
∵AC=AB，∠ACD=∠ABD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∴∠CAD+∠CAE=60°，
即∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE，
∴BD=BE+DE=CD+AD；
故答案為：=，BD=CD+AD；
（2）如圖3，在BD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接AE，
同理得△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠CAD+∠CAE=90°，
即∠DAE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AD，
∴DE=BD-BE=BD-CD=$\sqrt{2}$AD；
（3）①如圖4，BD-CD=$\sqrt{3}$AD，理由是：
在BD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，
得△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∴DF=FE，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=120°，
∴∠CAD+∠CAE=120°，
即∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
sin∠DAF=sin60°=$\frac{DF}{AD}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴DE=2DF=$\sqrt{3}$AD，
∴BD-CD=BD-BE=DE=$\sqrt{3}$AD；
②如圖5，BD+CD=$\sqrt{3}$AD，理由是：
延長(zhǎng)DB到E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠EBA=150°-∠DBC，
∵∠CDP=120°，
∴∠BCD=120°-∠DBC，
∴∠ACD=∠BCD+30°=150°-∠DBC，
∴∠ACD=∠EBA，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，∠EAB=∠CAD，
∴DF=EF，
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
同理得：DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴ED=$\sqrt{3}$AD，
∴DE=BD+BE=BD+CD=$\sqrt{3}$AD．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了等腰三角形、全等三角形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建兩三角形全等是本題的關(guān)鍵；要證明全等時(shí)，兩邊夾角的得出各問(wèn)都不相同，是一個(gè)難點(diǎn)；同時(shí)運(yùn)用了特殊角的三角函數(shù)值表示邊的長(zhǎng)度，在幾何證明中線段的和與差是一個(gè)難點(diǎn)，思路為：想辦法將線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上：①在長(zhǎng)邊截取短邊，②延長(zhǎng)短邊等于長(zhǎng)邊；簡(jiǎn)稱(chēng)“截或接”．