Question

12．如圖，直線y=-2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-2x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為直線AB上的動點，當點P繞原點O旋轉(zhuǎn)180°的對應(yīng)點Q在拋物線上時，求點P的坐標；
（3）M為直線AB上的動點，N為拋物線上的動點，當以點O，A，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B兩點坐標，然后把A、B兩點坐標代入拋物線解析式即可解決問題．
（2）設(shè)P（m，-2m+4）則Q（-m，2m-4），把點Q坐標代入y=-2x²+2x+4中，解方程即可解決問題．
（3）分兩種情形討論①當OA為平行四邊形OAMN的邊時，MN=0A=2，則N（m-2，-2m+4），把點N坐標代入y=-2x²+2x+4中，解方程即可．②當OA為對角線時，
因為OA與MN互相平分，OA的中點（1，0），推出N（2-m，2m-4），把N點坐標代入y=-2x²+2x+4解方程即可．

解答 解：（1）∵直線y=-2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（2，0），B（0，4），
把A、B兩點坐標代入y=-2x²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-8+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-2x²+2x+4．

（2）設(shè)P（m，-2m+4）則Q（-m，2m-4），
把點Q坐標代入y=-2x²+2x+4中，
得2m-4=-2m²-2m+4，
解得m=-1$±\sqrt{5}$，
∴點P坐標為（-1+$\sqrt{5}$，6-2$\sqrt{5}$）或（-1-$\sqrt{5}$，6+2$\sqrt{5}$）．

（3）設(shè)M（m，-2m+4），由題意A（2，0），
①當OA為平行四邊形OAMN的邊時，MN=0A=2，則N（m-2，-2m+4），
把點N坐標代入y=-2x²+2x+4中，
得-2m+4=-2（m-2）²+2（m-2）=4，
整理得m²-6m+6=0，
解得m=3±$\sqrt{3}$，
∴點M坐標為（3+$\sqrt{3}$，-2-2$\sqrt{3}$）或（3-$\sqrt{3}$，-2+2$\sqrt{3}$）．
②當OA為對角線時，
∵OA與MN互相平分，OA的中點（1，0），
∴N（2-m，2m-4），
把N點坐標代入y=-2x²+2x+4，
得到2m-4=-2（2-m）²=2（2-m）+4，
整理得m²-2m-2=0，
解得m=1$±\sqrt{3}$，
∴點M坐標為（1+$\sqrt{3}$，2-2$\sqrt{3}$）或（1-$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）．
綜上所述滿足條件的點M坐標為（3+$\sqrt{3}$，-2-2$\sqrt{3}$）或（3-$\sqrt{3}$，-2+2$\sqrt{3}$）或（1+$\sqrt{3}$，2-2$\sqrt{3}$）或（1-$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法解決問題，學會分類討論，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．