Question

7．如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，第一次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，折痕與AO交于點(diǎn)P₁；設(shè)P₁O的中點(diǎn)為O₁，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O₁重合，折痕與AO交于點(diǎn)P₂；設(shè)P₂O₁的中點(diǎn)為O₂，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O₂重合，折痕與AO交于點(diǎn)P₃；…；設(shè)P_n-1O_n-2的中點(diǎn)為O_n-1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與O_n-1重合，折痕與AO交于點(diǎn)P_n（n＞2），則AP_n的長(zhǎng)為$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1．

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AO的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，依次得出AP₁=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^1-1；AP₂=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^2-1；AP₃=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^3-1；據(jù)此可得規(guī)律AP_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1．

解答 解：∵正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
由題可得：
AP₁=P₁O=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^1-1；
∵P₁O₁=O₁O=$\frac{1}{2}$P₁O=$\frac{1}{4}$，
∴AO₁=AO-O₁O=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴AP₂=P₂O₁=$\frac{1}{2}$AO₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^2-1；
∵P₂O₂=O₂O₁=$\frac{1}{2}$P₂O₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{3}{16}$，
∴AO₂=AO₁-O₂O₁=$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{16}$=$\frac{9}{16}$，
∴AP₃=P₃O₂=$\frac{1}{2}$AO₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{16}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^3-1；
…
由此可得，AP_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1，
故答案為：$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的翻折變換，正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．