Question

2．已知：M點(diǎn)是等邊三角形△ABC中BC邊上的中點(diǎn)，也是等邊△DEF中EF邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD．
（1）如圖1，當(dāng)EF與BC在同一條直線上時(shí)，直接寫出$\frac{AD}{BE}$的值；
（2）如圖2，△ABC固定不動(dòng)，將圖1中的△DEF繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）角，
①判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說明理由；
②作DH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)BH=x，線段AB，BE，ED，DA所圍成的圖形面積為S．當(dāng)AB=6，DE=2時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作DG⊥AB于點(diǎn)G，作EH⊥AB于點(diǎn)H．則四邊形DGHE是矩形，則在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的長(zhǎng)，即可求得數(shù)量關(guān)系；
（2）①連接DM，AM，然后證明△ADM∽△BEM，即可證得結(jié)論；②分（Ⅰ）當(dāng)△DEF繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）角，根據(jù)△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方，以及面積的和差即可求得函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）作DG⊥AB于點(diǎn)G，作EH⊥AB于點(diǎn)H．則四邊形DGHE是矩形（如圖1），
設(shè)DG=HE=x，
在直角△ADG中，AD=$\frac{DG}{sin30°}$=2x，
在直角△BEH中，BE=$\frac{HE}{sin60°}$=$\frac{2x}{\sqrt{3}}$，
則$\frac{AD}{BE}$=$\sqrt{3}$．

（2）①存在，證明：連接DM，AM．
在等邊三角形ABC中，M為BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，$\frac{AM}{BM}$=$\sqrt{3}$．
∴∠BME+∠EMA=90°．
同理，$\frac{DM}{EM}$=$\sqrt{3}$，∠AMD+∠EMA=90°．
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{DM}{EM}$，∠AMD=∠BME．
∴△ADM∽△BEM．
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{DM}{EM}$=$\sqrt{3}$．
當(dāng)△DEF繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）角時(shí)，（如圖2），
∵△ADM∽△BEM，
∴$\frac{{S}_{△ADM}}{{S}_{△BEM}}$=（$\frac{AD}{BE}$）²=3．
∴S_△BEM=$\frac{1}{3}$S_△ADM
∴S=S_△ABM+S_△ADM-S_△BEM-S_△DEM
=S_△ABM+$\frac{2}{3}$S_△ADM-S_△DEM
=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$（x-3）-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．
∴s=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$ （3≤x≤3+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，求得函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．