Question

5．請完成下面的說明：
（1）如圖①所示，△ABC的外角平分線交于G，試說明∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（2）如圖②所示，若△ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，試說明∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（3）用（1），（2）的結(jié)論，直接寫出∠BGC和∠BIC的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，求出∠EBC+∠FCB=180°+∠A，求出∠2+∠3的度數(shù)，即可得出答案；
（2）求出∠6+∠8的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論即可得出答案．

解答 解：（1）如圖①，∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，
∴∠EBC+∠FCB=180°+∠A，
∵BG、CG分別平分∠EBC、∠FCB，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（2）如圖②，∵BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠6+∠8=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BIC=180°-（∠6+∠8）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∠BGC和∠BIC的關(guān)系是互補(bǔ)，
理由是：∵∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
∴∠BGC+∠BIC=180°，
∴∠BGC和∠BIC的關(guān)系是互補(bǔ)．

點(diǎn)評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確根據(jù)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．