Question

2．如圖所示的“賈憲三角”告訴了我們二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，如：第四行的四個數(shù)恰好對應著（a+b）³的展開式a³+3a²b+3ab²+b³的系數(shù)； 第五行的五個數(shù)恰好對應著（a+b）⁴的展開式a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴的系數(shù)；
根據(jù)數(shù)表中前五行的數(shù)字所反映的規(guī)律，回答：
（1）圖中第七行正中間的數(shù)字是20；
（2）（a+b）⁶的展開式是a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．

Answer 1

分析 （1）觀察圖表尋找規(guī)律：三角形是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，它的兩條斜邊都是數(shù)字1組成，而其余的數(shù)則是等于它“肩”上的兩個數(shù)之和，進而得出答案；
（2）利用（1）中所求即可得出答案．

解答 解：（1）可以發(fā)現(xiàn)：（a+b）ⁿ的各項展開式的系數(shù)除首尾兩項都是1外，其余各項系數(shù)都等于（a+b）^n-1的相鄰兩個系數(shù)的和，
則（a+b）⁴的各項系數(shù)依次為1、4、6、4、1；
（a+b）⁵的各項系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1；
則（a+b）⁶的系數(shù)分別為1、6、15、20、15、6、1．
故第七行正中間的數(shù)字是：20；
故答案為：20；

（2）由（1）得：（a+b）⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．
故答案為：a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．

點評 本題考查了整式的混合運算，學生解決實際問題的能力和閱讀理解能力，找出本題的數(shù)字規(guī)律是正確解題的關鍵．