Question

1．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=45°，E為BC邊上的一點，連接EA，作∠AEF，使得∠AEF=∠B，射線EF與CD交于點F．若AD=1，BC=5，且△ABE為等腰三角形，AB為一腰，則CF的長為5-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠BAE=∠BEA和AB=BE，再利用角與角的關系能求出∠CEF=∠BEA=67.5°，由三角形的內(nèi)角和為180°可找出∠CEF=∠CFE，從而得出△CEF為等腰三角形，要求CF只需求出CE即可，由四邊形ABCD為等腰梯形且AD=1，BC=5，∠B=45°，能夠得出AB的值，到此，即可根據(jù)CF=CE=BC-AB得出結(jié)論．

解答 解：過點A作AH⊥BC于H，如圖所示．

∵AD∥BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∵∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH=BH=$\frac{BC-AD}{2}$=2，AB=$\sqrt{2}$BH=2$\sqrt{2}$．
又∵△△ABE為等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA，AB=BE，
∴BE=AB=2$\sqrt{2}$，CE=BC-BE=5-2$\sqrt{2}$，
∴∠AEB=$\frac{180°-∠B}{2}$=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=67.5°．
∵∠CFE=180°-∠C-∠CEF=67.5°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF=CE=5-2$\sqrt{2}$．
故答案為：5-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是：找到∠CEF=∠CFE，即得出CF=CE，將求CF的長轉(zhuǎn)化為求CE的長．本題難度不大，在計算中只要細心的尋找角與角之間的關系，利用等腰三角形的底角相等以及三角形內(nèi)角和為180°，再借助巧分平角找出兩角相等，從而得出等腰三角形．