Question

15．（1）猜想與證明：
如圖（1），擺放著兩個(gè)矩形紙片ABCD和矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）拓展與延伸：
如圖（2），若將”猜想與證明“中的矩形紙片換成正方形紙片ABCD和正方形紙片ECGF，并使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試猜想DM與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）延長EM交AD于點(diǎn)H，由四邊形ABCD和CEFG是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行，得到內(nèi)錯(cuò)角相等，通過證明三角形全等，得到HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，得到DM=HM=ME，證出結(jié)果DM=ME；
（2）連接AC，由四邊形ABCD和ECGF是正方形，得到∠FCE=45°，∠FCA=45°，證得AE和EC在同一條直線上，再由直角三角形的性質(zhì)推出結(jié)論．

解答 解：（1）猜想：DM=ME；           
證明：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，
在△FME和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EFM=∠HAM\\ FM=AM\\∠FME=∠AMH\end{array}\right.$，
∴△FME≌△AMH（ASA），
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．   

（2）猜想：DM=ME；
 如圖2，連接AC，
∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一條直線上，
在RT△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，
在RT△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是本題的關(guān)鍵．