Question

如圖，在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,等腰三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：延長(zhǎng)AH交BC于P，連接DF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AFG=∠ADE=∠ABC，從而有GF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例可得

AK

AP

=

AF

AB

，要求AK的長(zhǎng)，只需求出AP、AF、AB長(zhǎng)．運(yùn)用勾股定理可求出CD及CE的長(zhǎng)，易證△ADB∽△AEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AD、AE的長(zhǎng)，在Rt△AEC中依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出DE長(zhǎng)，在△DAE中根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出AF的長(zhǎng)，然后用面積法可得到AP=CE，問(wèn)題得以解決．

解答：解：延長(zhǎng)AH交BC于P，連接DF，如圖．
由題知∠ADB=∠CDB=∠CEB=∠AEC=90°，
∵BC=25，BD=20，BE=7，
∴CD=15，CE=24．
又∵∠DAB=∠EAC，∠ADB=∠AEC，
∴△ADB∽△AEC，
∴

AD

AE

=

BD

CE

=

AB

AC

，①
由①得：

AD AE = 5 6 AE+7 AD+15 = 5 6

，
解得

AD=15 AE=18

，
∵∠AEC=90°，AD=CD=15，
∴DE=

1

2

AC=15．
∵點(diǎn)F在以DE為直徑的圓上，
∴∠DFE=90°，
∵DA=DE，
∴AF=EF=

1

2

AE=9．
∵∠CDB=∠CEB=90°，
∴D、E、B、C四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE=∠ABC．
∵G、F、E、D四點(diǎn)共圓，
∴∠AFG=∠ADE，
∴∠AFG=∠ABC，
∴GF∥BC．
∴

AK

AP

=

AF

AB

．②
∵H是△ABC的垂心，∴AP⊥BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CE=

1

2

BC•AP，
∵BA=BC=25，
∴AP=CE=24，
由②得AK=

AF•AP

AB

=

9×24

25

=8.64．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，證到GF∥BC從而得到

AK

AP

=

AF

AB

是解決本題的關(guān)鍵．