Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在x軸上，⊙P于x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC一動(dòng)點(diǎn)，求MC+MN的最小值；
（3）點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BCQ面積有最大值，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則可證明Rt△AOC∽R(shí)t△COB，利用相似比計(jì)算出OB=4，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）作DH⊥BC于H，交AB于E，連接MD，如圖，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=2

5

，再證明Rt△CDH∽R(shí)t△COB，利用相似比計(jì)算出DH=

8 5

5

，易得MC=MD，則MC+MN=MD+MN，于是得到DM+MN的最小值為點(diǎn)D到BC的垂線段長，即DH為DM+MN的最小值，所以MC+MN的最小值為

8 5

5

；
（3）先利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=

1

2

x-2；過點(diǎn)Q作BC的平行線l，l與y軸交于點(diǎn)F，如圖，由于當(dāng)l與BC的距離最大時(shí)，△BCQ面積有最大，則此時(shí)l與拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線l的解析式為y=

1

2

x+t，問題轉(zhuǎn)化為方程

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

x+t有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，利用判別式的意義得到所以△=（-2）²-4×

1

2

×（-2-t）=0，解得t=-4，且可解得x₁=x₂=2，易得此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3），然后利用S_△QBC=S_△FBC求△BCQ面積的最大值．

解答：解：（1）∵AB為⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
而∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△COB，
∴OC：OB=OA：OC，即2：OB=1：2，解得OB=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
把C（0，-2）代入得a•1•（-4）=-2，解得a=

1

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

（x+1）（x-4）=

1

2

x²-

3

2

x-2；
（2）作DH⊥BC于H，交AB于E，連接MD，如圖，
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，
∴BC=

OC2+OB2

=2

5

，
∵CD⊥AB，
∴OC=OD，
∴AB垂直平分CD，
∴ED=EC，
∵∠DCH=∠BCO，
∴Rt△CDH∽R(shí)t△COB，
∴

DH

OB

=

DC

BC

，即

DH

4

=

4

2 5

，解得DH=

8 5

5

，
∵M(jìn)C=MD，
∴MC+MN=MD+MN，
∴DM+MN的最小值為點(diǎn)D到BC的垂線段長，即DH為DM+MN的最小值，
∴MC+MN的最小值為

8 5

5

；
（3）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（4，0）、C（0，-2）代入得

4m+n=0 n=-2

，解得

m= 1 2 n=-2

，
所以直線BC的解析式為y=

1

2

x-2，
過點(diǎn)Q作BC的平行線l，l與y軸交于點(diǎn)F，如圖，
當(dāng)l與BC的距離最大時(shí)，△BCQ面積有最大，
此時(shí)l與拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2只有一個(gè)公共點(diǎn)，
設(shè)直線l的解析式為y=

1

2

x+t，
則方程

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

x+t有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
整理得

1

2

x²-2x-2-t=0，
所以△=（-2）²-4×

1

2

×（-2-t）=0，解得t=-4，
方程

1

2

x²-2x-2-t=0變形為

1

2

x²-2x+2=0，解得x₁=x₂=2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

x-4=-3，
所以此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3），
因?yàn)閘∥BC，
所以S_△QBC=S_△FBC=

1

2

CF•OB=

1

2

×2×4=4，
即△BCQ面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用垂線段最短比較線段之間的大小關(guān)系；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；能運(yùn)用判別式確定拋物線與直線有唯一公共點(diǎn)的條件．