Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E，F分別在BC，CD邊上，且CE=DF，BF與DE交于點G．若BG=2，DG=3，則四邊形ABGD的面積為

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質

專題：

分析：首先利用菱形的性質得出AB=AD，又由AB=BD得出△ABD是等邊三角形，進一步證明△CDE≌△DBF，得出∠BGE=∠DGF=60°，證得四邊形ABGD是圓內接四邊形，過點A再分別作AM⊥DE，AN⊥BF，證明△ABN≌△ADM，把四邊形ABGD的面積轉化為四邊形AMGN的面積即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又∵AB=BD
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°
∴∠DBC=∠BDF=∠C=60°
在△CDE和△DBF中，

CD=DB ∠C=∠BDF CE=DF

∴△CDE≌△DBF（SAS）
∴∠CDE=∠DBF
∴∠GBE=∠BDE
∴∠DBF+∠GBE=∠DBF+∠BDE=∠BGE=∠DGF=60°=∠BAD
∴四邊形ABGD是圓內接四邊形，
∴∠BGD=120°
如圖，過點A分別作AM⊥DE，AN⊥BF，垂足分別為M、N

∵AG是角平分線，
∴AN=AM，
在Rt△ABN和Rt△ADM中，

AN=AM AB=AD

∴Rt△ABN≌Rt△ADM（HL）
∴BN=DM
∴GN+GM=BG+DG=2+3=5
連接AG，
在Rt△AGN和Rt△AGM中

AN=AM AG=AG

∴Rt△AGN≌Rt△AGM（HL）
∴NG=MG=

1

2

（BG+DG）=

5

2

，∠AGN=

1

2

∠BGD=60°
∴AN=NG•tan∠AGN=

5

2

3

∴S_{四邊形ABGD}=S_{四邊形ANGM}．
S_{四邊形ABGD}=2S_△AGN，=2×

1

2

×NG×AN=

5

2

×

5

2

3

=

25 3

4

．
故答案為：

25 3

4

．

點評：此題考查菱形的性質，等邊三角形的判定，三角形全等的判定與性質，圓內接四邊形的判定與性質等知識點．