Question

14．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB=1，PC=2，求△CPB的度數(shù)．小東同學(xué)嘗試在CP的右側(cè)作CD⊥CP，并截取CD=CP，再連接DP、DB，使問題獲解：小西同學(xué)把CD畫在CP的左側(cè)，同樣也使問題獲解，請你分別在下面的兩個圖中畫出小東和小西想到的輔助線，并選擇其中的一種寫出解答．

Answer 1

分析 小東的輔助線：根據(jù)SAS證明△CAP與△CBD全等即可，利用勾股定理的逆定理得出△PDB是直角三角形，進而解答即可；
小西的輔助線：同理證得△ADC≌△BPC，利用勾股定理的逆定理得出△ADP是直角三角形，進而解答即可．

解答 解：（1）作CD⊥CP，并截取CD=CP，再連接DP、DB，
∵∠ACB=90°，CD⊥PC，
∴∠ACB=∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠BCD，
在△CAP與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCD}\\{PC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△CBD，
∴PA=BD=3，
∵PC=CD=2，CD⊥PC，
∴DP=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$，∠CPD=45°
∴DP²=8=BD²-PB²=3²-1²=8，
∴△BDP是直角三角形，
∴∠DPB=90°，
∴∠BPC=∠DPB+∠CPD=135°；
過C作CD⊥PC，使CD=PC，連接AD，CD PD，
同理△ADC≌△BPC，
∴AD=PB=1，∠PC=∠ADC，
∵PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，
∴AD²+PD²=1²+（2$\sqrt{2}$）²=9=AP²，
∴∠ADP=90°，
∴∠ADC=135°，
∴∠BPC=135°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，根據(jù)SAS證得三角形全等是解題的關(guān)鍵．