Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，再將△PBQ繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B落在該拋物線上，則t的值為3．
（2）若旋轉(zhuǎn)后的△PBQ與該拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則t的取值范圍是4＞t＞$\frac{22}{9}$．

Answer 1

分析 審題可知：拋物線已知，可以先求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，確定三角形PBQ是等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)90°后，
（1）用t表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，求解即可；
（2）用t表示旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)解析式列出不等式，求出邊PQ，PB，BQ與拋物線有交點(diǎn)的范圍，寫出范圍即可．

解答 解：y=-x²+2x+3，當(dāng)x=0時(shí)，解得：y=3，所以O(shè)C=3；
當(dāng)y=0時(shí)，0=-x²+2x+3，解得：x₁=-1，x₂=3，所以：OA=1，OB=3，
所以：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）
∵OC=OB=3，可知：∠OBC=45°
∵PQ⊥BC，
∴△PBQ是等腰直角三角形，PQ=PB，
運(yùn)動(dòng)t秒后，PB=t，運(yùn)用勾股定理可求BQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，將△PBQ繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，PB⊥x軸，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸，垂足為M，可求∠QPM=45°，
由勾股定理可求：PM=QM=$\frac{1}{2}$t，
所以P（3-t，0），Q（3-$\frac{3t}{2}$，$\frac{t}{2}$），點(diǎn)B（3-t，t），
（1）把點(diǎn)B（3-t，t）坐標(biāo)代入y=-x²+2x+3得：t=-（3-t）²+2（3-t）+3，解得：t=3，或t=0（舍去）
所以：t=3．
故答案為：3
（2）若PB與拋物線y=-x²+2x+3有交點(diǎn)，由于點(diǎn)B（3-t，t），則有：當(dāng)x=3-t時(shí)，y＜t，且3-t＜-1，代入得：-（3-t）²+2（3-t）+3≤t，
解得：4＞t≥3，或t≤0（舍去）
若PQ，BQ與拋物線y=-x²+2x+3有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由于Q（3-$\frac{3t}{2}$，$\frac{t}{2}$），則有；當(dāng)x=3-$\frac{3t}{2}$時(shí)，y＜$\frac{t}{2}$，且3-t＜-1，代入得：：-（3-$\frac{3t}{2}$）²+2（3-$\frac{3t}{2}$）+3≤$\frac{t}{2}$，
解得：4＞t＞$\frac{22}{9}$，或t≤0（舍去）
所以：當(dāng)4＞t≥3時(shí)，PB與PQ與拋物線有交點(diǎn)；當(dāng)3≥t＞$\frac{22}{9}$時(shí)，PQ和BQ與拋物線有交點(diǎn)，
綜上所述：
若旋轉(zhuǎn)后的△PBQ與該拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則t的取值范圍是：4＞t＞$\frac{22}{9}$
故答案為：4＞t＞$\frac{22}{9}$

點(diǎn)評 此題主要考察線段與拋物線的交點(diǎn)，根據(jù)已知設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意列出不等式是解題的關(guān)鍵，其中解一元二次不等式可以根據(jù)畫二次函數(shù)的圖象解答．