Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-5，0），C（0，-4），點(diǎn)B在y軸正半軸上，滿足S_△ABC=20，點(diǎn)P（m，0），（-4＜m＜0），線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PD．
（1）求證：OB=OC；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）
（3）如圖2，連接CD并延長交x軸于點(diǎn)E，求證：∠PDC=45°+∠PBO．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）根據(jù)△BAC面積即可求得BC的長，即可解題；
（2）作DF⊥AE，易證∠PBO=∠DPF，即可證明△OPB≌△FDP，可得DF=OP，PF=OB，即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）易求直線CD斜率即可求得∠DEF的大小，根據(jù)△OPB≌△FDP可得∠PBO=∠DPF，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可解題．

解答：（1）證明：∵S_△ABC=20，
∴

1

2

BC•AO=20，
∴BC=8，
∵CO=4，∴BO=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（0，4）；
（2）解：作DF⊥AE，

∵∠PBO+∠OPB=90°，∠OPB+∠DPF=90°，
∴∠PBO=∠DPF，
∵在△OPB和△FDP中，

∠DFP=∠POB=90° ∠PBO=∠DPF BP=DP

，
∴△OPB≌△FDP，（AAS）
∴DF=OP=-m，PF=OB=4，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（4+m，m）；
（3）證明：∵直線CD經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，
∴直線CD斜率為

m-(-4)

m+4-0

=1，
∴∠DEF=45°，
∵△OPB≌△FDP，
∴∠PBO=∠DPF，
∵∠CDP=∠DPF+∠DEF，
∴∠CDP=∠PBO+45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△OPB≌△FDP是解題的關(guān)鍵．