Question

1．如圖，在矩形OAHC中，OC=4，OA=6，B為CH中點，連接AB．動點M從點O出發(fā)沿OA邊向點A運動；動點N從點A出發(fā)沿AB邊向點B運動，兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，連接CM，CN，MN，設(shè)運動時間為t（秒）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在MN的垂直平分線上？
（2）求△CMN的面積S與t之間的函數(shù)表達式；
（3）當t為何值時，△CMN的面積S有最小值？
（4）是否存在某一時刻t，使得△CMN為直角三角形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當點A在MN的垂直平分線上時，即AM=AN，列出方程即可求出t的值；
（2）過點N作OA的垂線，交OA于點F，交CH于點E，由于AM=6-t，AN=t，所以利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求出EN=$\frac{4}{5}$（5-t），然后分別求出梯形OABC、△OMC、△NCB和△AMN的面積后，即可求出S與t的關(guān)系；
（3）將（2）中的關(guān)系式進行配方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最小值
（4）△CMN是直角三角形時，有三種情況，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°，然后進行分類討論求出t的值．

解答 解：（1）當點A在MN的垂直平分線上時，
此時，AM=AN，
∵OM=t，
∴AM=6-t，
∵AN=t
∴6-t=t，
∴t=3，

（2）過點N作OA的垂線，交OA于點F，交CH于點E，如圖1，
∵B點是CH的中點，
∴BH=$\frac{1}{2}$CH=3，
∵AH=OC=4，
∴由勾股定理可求：AB=5，
∵AN=t，
∴BN=5-t，
∵NE∥AH，
∴△BEN∽△BHA，
∴$\frac{BN}{AB}=\frac{EN}{AH}$，
∴$\frac{5-t}{5}=\frac{EN}{4}$，
∴EN=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴FN=4-EN=$\frac{4}{5}$t，
∵梯形OABC的面積為：$\frac{1}{2}$（BC+OA）•OC=18，
△OMC的面積為：$\frac{1}{2}$OM•OC=2t，
△NCB的面積為：$\frac{1}{2}$BC•EN=$\frac{6}{5}$（5-t），
△AMN的面積為：$\frac{1}{2}$AM•FN=$\frac{2}{5}$t（6-t），
∴S=18-2t-$\frac{6}{5}$（5-t）-$\frac{2}{5}$t（6-t）
=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{16}{5}$+12；

（3）由（2）可知，S=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{16}{5}$+12=$\frac{2}{5}$（t-4）²+$\frac{28}{5}$，
∵0＜t＜5，
∴當t=4時，S的最大值為$\frac{28}{5}$；

（4）當∠CMN=90°，
由（2）可知：FN=$\frac{4}{5}$t，
由勾股定理可求：AF=$\frac{3}{5}$t，
∴MF=AM-AF=6-t-$\frac{3}{5}$t=6-$\frac{8}{5}$t，
∵∠OCM+∠CMO=90°，
∠CMO+∠FMN=90°，
∴∠OCM=∠FMN，
∵∠O=∠NFM=90°，
∴△COM∽△MFN，
∴$\frac{OC}{MF}=\frac{OM}{FN}$，
∴$\frac{4}{6-\frac{8}{5}t}=\frac{t}{\frac{4}{5}t}$，
∴t=$\frac{7}{4}$，

當∠MNC=90°，
由（2）可知：FN=$\frac{4}{5}$t，
∴EN=$\frac{4}{5}$（5-t），
∵MF=6-$\frac{8}{5}$t，
∴CE=OF=OM+MF=6-$\frac{3}{5}$t，
∵∠MNF+∠CNE=90°，
∠ECN+∠CNE=90°，
∴∠MNF=∠ECN，
∵∠CEN=∠NFM=90°，
∴△CEN∽△NFM，
∴$\frac{CE}{FN}=\frac{EN}{MF}$，
∴$\frac{6-\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{\frac{4}{5}（5-t）}{6-\frac{8}{5}t}$，
∴t=$\frac{41±\sqrt{241}}{8}$，
∵0＜t＜5，
∴t=$\frac{41-\sqrt{241}}{8}$，

當∠NCM=90°，
由題意知：此情況不存在，
綜上所述，△CMN為直角三角形時，t=$\frac{7}{4}$或$\frac{41-\sqrt{241}}{8}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識，用到了割補法、配方法等重要的數(shù)學方法，有一定的綜合性．