Question

17．已知函數(shù)y=-x+4的圖象與函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)．函數(shù)y=-x+4的圖象如圖1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（2，m）是直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱，線段MN交y軸于點(diǎn)C．
（1）m=2，S_△AOB=8；
（2）如果線段MN被反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象分成兩部分，并且這兩部分長度的比為1：3，求k的值；
（3）如圖2，若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$圖象經(jīng)過點(diǎn)N，此時(shí)反比例函數(shù)上存在兩個點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）關(guān)于原點(diǎn)對稱且到直線MN的距離之比為1：3，若x₁＜x₂請直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)在函數(shù)圖象上的特點(diǎn)求出m，以及平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積的計(jì)算方法（利用坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上的邊作為底）．
（2）利用點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，線段MN被反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象分成兩部分，并且這兩部分長度的比為1：3，且交點(diǎn)為D，分兩種情況$\frac{ND}{DM}=\frac{1}{3}$或$\frac{ND}{DM}=\frac{3}{1}$計(jì)算即可．
（3）利用點(diǎn)到平行于坐標(biāo)軸的直線的距離的計(jì)算方法以及和（2）類似的方法分兩種情況處理，取絕對值時(shí)，也要分情況計(jì)算．

解答 解：（1）∵M(jìn)（2，m）在直線y=-x+4的圖象上，
∴m=-2+4=2，
函數(shù)y=-x+4的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×4×4=8．
故答案為2，8．
（2）∵m=2，
∴M（2，2），
∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱，
∴N（-2，2），
∴MN=4，
∵線段MN被反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象分成兩部分，并且這兩部分長度的比為1：3，且交點(diǎn)為D，
①當(dāng)$\frac{ND}{DM}=\frac{1}{3}$時(shí)，即：$\frac{ND}{MN}=\frac{1}{4}$，
∴ND=1，
∴D（-1，2），
∴k=-1×2=-2，
②當(dāng)$\frac{ND}{DM}=\frac{3}{1}$時(shí)，即：$\frac{MN}{DM}=\frac{4}{1}$，
∴DM=$\frac{1}{4}$MN=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴D（1，2），
∴k=1×2=2．
故k的值為-2或2．
（3）反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$圖象經(jīng)過點(diǎn)N，且N（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∵反比例函數(shù)上存在兩個點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），
∴x₁y₁=-4x₂，y₂=-4，
∵點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁，
∵M(jìn)（2，2），N（-2，2），
∴點(diǎn)E到直線MN的距離為|y₁-2|，點(diǎn)F到直線MN的距離為|y₁+2|，
∵點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）到直線MN的距離之比為1：3，
∴點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（-x₁，-y₁）到直線MN的距離之比為1：3，
①當(dāng)$\frac{{|y}_{1}-2|}{{|y}_{1}+2|}=\frac{1}{3}$時(shí)，即：3|y₁-2|=|y₁+2|
當(dāng)y₁＞2時(shí)，3y₁-6=y₁+2，
∴y₁=4，
∴y₂=-4，x₁=-1，x₂=1
當(dāng)-2＜y₁≤2時(shí)，-3y₁+6=y₁+2，
∴y₁=1，
∴y₂=-1，x₁=-4，x₂=4
當(dāng)y₁＜-2時(shí)，-3y₁+6=-y₁+2，
∴y₁=2（舍），
②當(dāng)$\frac{{|y}_{1}-2|}{{|y}_{1}+2|}=\frac{3}{1}$時(shí)，即：3|y₁+2|=|y₁-2|，
當(dāng)y₁＞2時(shí)，3y₁+6=y₁-2，
∴y₁=-4（舍），
當(dāng)-2＜y₁≤2時(shí)，3y₁+6=-y₁+2，
∴y₁=-1，
∴y₂=1，x₁=4，x₂=-4（∵x₁＜x₂，舍），
當(dāng)y₁＜-2時(shí)，-3y₁-6=-y₁+2，
∴y₁=-4，
∴y₂=4，x₁=1，x₂=-1（∵x₁＜x₂，舍），
∴E（-1，4），F(xiàn)（1，-4）或E（-4，1），F(xiàn)（4，-1）

點(diǎn)評 本題是反比例函數(shù)的一道綜合題，主要考查了點(diǎn)在函數(shù)圖象上的特點(diǎn)，如求出m，坐標(biāo)系中計(jì)算三角形面積的方法，利用坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)到直線的距離，如計(jì)算ND，MD，點(diǎn)E，F(xiàn)到直線MN的距離，本題的關(guān)鍵是確定確定兩點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離的確定，又用到了分幾種情況計(jì)算，易丟掉其中一種情況．