Question

18．已知關(guān)于x的方程（x-3）（x-2）-p²=0．
（1）求證：無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程兩實數(shù)根分別為x₁，x₂，且滿足x₁²+x₂²=3x₁x₂，求實數(shù)p的值．

Answer 1

分析 （1）化成一般形式，求根的判別式，當(dāng)△＞0時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系的關(guān)系求出兩根和與兩根積，再把${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=3{x}_{1}{x}_{2}$變形，化成和與乘積的形式，代入計算，得到一個關(guān)于p的一元二次方程，解方程．

解答 證明：（1）（x-3）（x-2）-p²=0，
x²-5x+6-p²=0，
△=（-5）²-4×1×（6-p²）=25-24+4p²=1+4p²，
∵無論p取何值時，總有4p²≥0，
∴1+4p²＞0，
∴無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
∵x₁²+x₂²=3x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3x₁x₂，
∴5²=5（6-p²），
∴p=±1．

點評 本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意熟記以下知識點：
（1）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根分別為x₁，x₂，則有${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{a}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$．