Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線．
（1）實驗與探究
由圖觀察易知點A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5），E（-1，-4）關于直線l的對稱點B′、C′，E′的位置，并寫出它們的坐標：B′（3，5）、C′（5，-2），E′（-4，-1）；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：
結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（b，a）（不必證明）；
（3）運用與拓廣：
已知兩點D（1，-3）、B（5，3），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、B兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱的性質作出對稱點即可，然后寫出坐標．
（2）觀察（1）中結論得出結論即可．
（3）連接DB′交直線l于Q，此時DQ+BQ最小．求出直線DB′的解析式，解方程組即可求出點Q坐標．

解答 解：（1）點B（5，3）、C（-2，5），E（-1，-4）關于直線l的對稱點B′、C′，E′的位置，如圖所示，

由圖象可知B′（3，5），C′（5，-2），E′（-4，-1）．

（2）由（1）可知坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（b，a）．

（3）連接DB′交直線l于Q，此時DQ+BQ最�。�
設直線DB′的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{3k+b=5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
∴直線DB′的解析式為y=4x-7，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-7}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴點Q坐標（$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{3}$）．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會正確畫出圖形，學會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．