Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)D、E，EF為⊙O的切線，交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：EF⊥AC；
（2）若FC=3，BE=2，OB=2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先證明OE⊥EF，再證明OE∥AC，即可證明．
（2）利用△DBE∽△ECF，得$\frac{EC}{BD}$=$\frac{FC}{BE}$，求出EC即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴EO∥AC，
∴∠OEF=∠EFC，
∵直線EF是⊙O切線，
∴OE⊥EF，
∴∠OEF=∠EFC=90°，
∴EF⊥AC．
（2）解：連接DE．
∵BD是直徑，
∴∠DEB=90°=∠EFC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴△DBE∽△ECF，
∴$\frac{EC}{BD}$=$\frac{FC}{BE}$，
又∵BD=2OB=4，
∴$\frac{EC}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴EC=6，
∴BC=BE+EC=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，尋找相似三角形是關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．