Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)．例如，圖中過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點(diǎn)P是和諧點(diǎn)．
（1）判斷點(diǎn)M（1，2），N（4，4）是否為和諧點(diǎn)，并說明理由；
（2）若和諧點(diǎn)P（a，3）在直線y=-x+b（b為常數(shù)）上，求a，b的值；
（3）若直線y=2x+12上存在和諧點(diǎn)，寫出此點(diǎn)的坐標(biāo)：（（$\frac{-3+\sqrt{57}}{2}$，9$+\sqrt{57}$）或（$\frac{-3-\sqrt{57}}{2}$，9-$\sqrt{57}$））．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）因?yàn)镻（a，3）是和諧點(diǎn)，所以根據(jù)題意得3×|a|=2×（|a|+3）．①當(dāng)a＞0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，列方程即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)此點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，2a+12），由題意列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）M不是和諧點(diǎn)，N是和諧點(diǎn)．
根據(jù)題意，對(duì)于M而言，面積為1×2=2，周長為2×（1+2）=6，
所以M不是和諧點(diǎn)，
對(duì)于N而言，面積為4×4=16，周長為2×（4+4）=16，
所以N是和諧點(diǎn)．
（2）因?yàn)镻（a，3）是和諧點(diǎn)，
所以根據(jù)題意得3×|a|=2×（|a|+3）．
①當(dāng)a＞0時(shí)，3a=2（a+3），3a=2a+6，
解得a=6，將（6，3）代入y=-x+b得3=-6+b，
解得b=9．
②當(dāng)a＜0時(shí)，-3a=2（-a+3），-3a=-2a+6，
解得a=-6，將（-6，3）代入y=-x+b得3=6+b，
解得b=-3．
所以a=6，b=9或a=-6，b=-3．
（3）設(shè)此點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，2a+12），
由題意得，a（2a+12）=2（a+2a+12），
∴a=$\frac{-3±\sqrt{57}}{2}$，
∴P（$\frac{-3+\sqrt{57}}{2}$，9$+\sqrt{57}$）或（$\frac{-3-\sqrt{57}}{2}$，9-$\sqrt{57}$）．
故答案為：（$\frac{-3+\sqrt{57}}{2}$，9$+\sqrt{57}$）或（$\frac{-3-\sqrt{57}}{2}$，9-$\sqrt{57}$）．

點(diǎn)評(píng) 題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-bk，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）；直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．