Question

4．如圖1，直線AB的解析式為y=4x+4，OA=OC．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，且∠BPC=45°，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P在AB上，∠APC=45°，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線AB與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)OA=OC，可得點(diǎn)C和點(diǎn)A的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此求出C點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可；
（2）首先根據(jù)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，4a+4），求出PC所在直線的斜率k的值是多少；然后根據(jù)∠BPC=45°，可得tan45°=$\frac{4-k}{1+4k}$，據(jù)此求出a的值是多少，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（b，4b+4），B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），求出sin∠PAC的值是多少；然后在△ACP中，由正弦定理，可得$\frac{AC}{sin∠APC}=\frac{CP}{sin∠PAC}$，據(jù)此求出b的值是多少，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：（1）由4x+4=0，
可得x=-1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0），
∵OA=OC，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）．

（2）∵點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，4a+4），
∴PC所在直線的斜率是：
k=$\frac{（4a+4）-0}{a-1}$=$\frac{4a+4}{a-1}$，
∵∠BPC=45°，
∴tan45°=$\frac{4-k}{1+4k}$
=$\frac{4-\frac{4a+4}{a-1}}{1+4×\frac{4a+4}{a-1}}$
=$\frac{-8}{17a+15}$
=1
解得a=-$\frac{23}{17}$，
∵4a+4
=4×（-$\frac{23}{17}$）+4
=-$\frac{24}{17}$
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{23}{17}$，-$\frac{24}{17}$）．

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（b，4b+4），
∵B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），
∴sin∠PAC=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{4}{\sqrt{{4}^{2}+1}}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
在△ACP中，由正弦定理，可得
$\frac{AC}{sin∠APC}=\frac{CP}{sin∠PAC}$，
即$\frac{2}{sin45°}=\frac{\sqrt{{（b-1）}^{2}{+（4b+4）}^{2}}}{\frac{4\sqrt{17}}{17}}$，
整理，可得
289b²+510b+161=0，
解得b=-$\frac{7}{17}$，或b=-$\frac{391}{289}$，
∵b＞-1，-$\frac{391}{289}＜-1$，
∴b=-$\frac{391}{289}$不符合題意，
∴b=-$\frac{7}{17}$，
∴4b+4
=4×（-$\frac{7}{17}$）+4
=$\frac{40}{17}$
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{7}{17}$，$\frac{40}{17}$）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的含義以及求法，以及兩條直線的夾角的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了正弦定理的應(yīng)用，要熟練掌握．