Question

14．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過BC的中點(diǎn)D作直線l∥AC，l與AB交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)G、F，與⊙O在點(diǎn)A處的切線交于點(diǎn)P，若PE=3，ED=2，EF=3，則PA的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 先判斷DE為△ABC的中位線，則AE=BE，加上PE=EF=3，則可判斷四邊形PBFA是平行四邊形，所以PA=BF，PB∥AF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BPF=∠AFP，由PF∥AC得∠AFP=∠FAC，接著根據(jù)圓周角定理得到∠FBC=∠FAC，則∠FBC=∠BPF，于是可證明△BFD∽△PFB，利用相似比可計(jì)算出BF=$\sqrt{6}$，從而得到PA=BF=$\sqrt{6}$．

解答 解：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE∥AC，
∴DE為△ABC的中位線，
∴AE=BE，
∵PE=EF=3，
∴四邊形PBFA是平行四邊形，
∴PA=BF，PB∥AF，
∴∠BPF=∠AFP，
∵PF∥AC，
∴∠AFP=∠FAC，
∴BPF=∠FAC，
又∵∠FBC=∠FAC，
∴∠FBC=∠BPF，
∵∠DFB=∠BFP，
∴△BFD∽△PFB，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{BF}{PF}$，即$\frac{3-2}{BF}$=$\frac{BF}{3+3}$
∴BF=$\sqrt{6}$，
∴PA=BF=$\sqrt{6}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握三角形中位線性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)和圓周角定理；會(huì)運(yùn)用相似比計(jì)算有關(guān)線段的長(zhǎng)．