Question

2．如圖，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC．
（1）求證：CD²=CE•CA；
（2）求證：∠CEF=∠B；
（3）猜想：線段OC，OF，OE，OD成比例嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由一對(duì)直角相等及一對(duì)公共角相等，得到△CED與△DCA相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）同理得到△CDF與△CBD相似，由相似得比例列出關(guān)系式，等量代換即可得證；
（3）線段OC、OD、OE、OF成比例，理由為：由∠CED=∠CFD=90°，得到C，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到兩對(duì)角相等，確定出三角形OED與三角形OCF相似，由相似得比例即可得證．

解答 解：（1）∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CA}$，
即CD²=CE•CA，

（2）由（1）證得CD²=CE•CA，
同理CD²=CB•CF，
∴CA•CE=CB•CF，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CF}{CA}$，
∵∠ACB=∠FCE，
∴△CEF∽△BCA，
∴∠CEF=∠B；

（3）線段OC、OD、OE、OF成比例，理由為：
∵∠CED=∠CFD=90°，
∴C，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠FED=∠FCD，∠DEC=∠EFC，
∴△ODE∽△OCF，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OF}{OE}$，
∴線段OC、OD、OE、OF成比例．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．